已知函数f(x)=x-ln(x+a)在(-a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(1)求实数a的值;(2)若m>n>0,求证:lnm-lnn<m+nn;
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已知函数f(x)=x-ln(x+a)在(-a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(1)求实数a的值;(2)若m>n>0,求证:lnm-lnn<m+nn;
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x-ln(x+a)在(-a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(1)求实数a的值;
(2)若m>n>0,求证:
lnm-lnn<
m+n
n
;
(3)若关于x的方程f(x)+2x=x
2
+λ在
[
1
2
,2]
上恰有两个不相等的实数根,求实数λ的取值范围.
答案
(1)由题意,f′(x)=1-
1
x+a
∵函数f(x)=x-ln(x+a)在(-a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴f′(1)=0
∴a=0;
(2)证明:∵m>n>0,∴要证明
lnm-lnn<
m+n
n
,只需要证明
ln
m
n
<
m
n
-1
只需要证明lnx<x-1,x>1
记g(x)=lnx-x=-f(x)
∴g(x)在(1,+∞)上单调递减
∴g(x)<g(1)=-1,即lnx-x<-1
∴
lnm-lnn<
m+n
n
;
(3)∵f(x)+2x=x
2
+λ,f(x)=x-lnx
∴原方程可化为x
2
-3x+lnx+λ=0,
x∈[
1
2
,2]
记h(x)=x
2
-3x+lnx+λ,
x∈[
1
2
,2]
则
h′(x)=
(x-1)(2x-1)
x
∴
x∈(
1
2
,1)
时,h′(x)<0,x∈(1,2)时,h′(x)>0,
∵
h(
1
2
)
=
-
5
4
-ln2+λ
,h(2)=-2+ln2+λ,h(1)=-2+λ,
h(2)-h(
1
2
)=-
3
4
+ln4>0
∴
h(1)<h(
1
2
)<h(2)
∴
h(
1
2
)≥0
h(1)<0
∴
-
5
4
-ln2+λ≥0
-2+λ<0
∴
5
4
+ln2≤λ<2
.
举一反三
若f(x)=x
2
-2x-4lnx,则f(x)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)
B.(-1,0)和 (2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-1,0)
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)=x-xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若方程f(x)=t在
[
1
e
,e]
上有两个实数解,求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=-x
3
+2ax
2
+1(a∈R)在区间(0,
2
3
)上递增,
[
2
3
,+∞)
上递减,则实数a的值为 _______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
ax
x
2
+b
(a,b∈R)在(-1,f(-1))处的切线方程为y=-2.
(Ⅰ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅱ)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
题型:不详
难度:
|
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若函数
f(x)=
1
3
x
3
-k
x
2
+(2k-1)x+5
在区间(2,3)上是减函数,则k的取值范围是( )
A.[1,+∞)
B.[0,1]
C.(-∞,0]
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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