已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的
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已知函数f(x)=a-1|x|.(1)求证:y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=a-
1
|x|
.
(1)求证:y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求实数a的取值范围.
答案
(1)证明:∵(0,+∞)时,
f(x)=a-
1
|x|
=a-
1
x
,
∴
f
′
(x)=
1
x
2
>0,
∴y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)函数的定义域:x>0或x<0.
当x>0时,f(x)=a-
1
x
单调递增;当x<0时,f(x)=a+
1
x
单调递减.
当x>0时,f(m)=m且f(n)=n且m<n,即m=a-
1
m
,且n=a-
1
n
,且m<n,
这个式子等价于方程
x=a-
1
x
有两个不等实根,即二元一次方程x
2
-ax+1=0有两个正的不等实根,
当x<0时,f(m)=n且f(n)=m,即a+
1
m
=n,且a+
1
n
=m,且m<n<0,
a=n-
1
m
=m-
1
n
.
根据以上情况,有:
①对称轴
a
2
,判别式△=a
2
-4>0,且x=0时等式左边=1>0.解得a>2.
②a
2
=nm+
1
mn
-2,
a-a=(n-m)-(
1
m
-
1
n
)=(n-m)-
n-m
mn
=(n-m)(1-
1
mn
)=0,
因为n-m≠0,所以1-
1
mn
=0,即mn=1,所以a
2
=1+1-2=0
综上所述,a的取值范围是{a|a>2或a=0}.
举一反三
已知函数
f(x)=lnx-
a(x-1)
x
(a>0)
.
(1)求f(x)的最小值;
(2)证明:不等式
1
lnx
-
1
2
<
1
x-1
对一切x>1
恒成立.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=x+
2
x
,则函数f(x)的单调递增区间为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x),(x∈R)上任一点(x
0
,y
0
)的切线方程为y-y
0
=(x
0
-2)(x
0
2
-1)(x-x
0
),那么函数f(x)的单调递减区间是( )
A.[-1,+∞)
B.(-∞,2]
C.(-∞,-1)和(1,2)
D.[2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)-f(x)>0,对任意正数a、b,若a<b,则af(a),bf(b)的大小关系为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2t
2
-2(e
x
+x)t+e
2x
+x
2
+1,g(x)=
1
2
f′(x).
(I)证明:当
t<2
2
时,g(x)在R上是增函数;
(II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(III)证明:
f(x)≥
3
2
.
题型:辽宁
难度:
|
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