(1)∵f(x)=x2-(a+2)x+alnx, ∴f′(x)=2x-(a+2)+==,其中x>0, 令f"(x)=0,得x=1或x=. ∵a>2,∴>1. 当0<x<1及x>时,f"(x)>0; 当1<x<时,f"(x)<0; ∴f(x)的单调递增区间为(0,1),(,+∞). (2)当a=4时,f(x)=x2-6x+4lnx,f′(x)=2x+-6,其中x>0, 令f′(x)=2x+-6=-6,方程无解, ∴不存在实数m使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f(x)的切线. (3)由(2)知,当a=4时,函数y=f(x)在其图象上一点P(x0,f(x0))处的切线方程为y=m(x)=(2x0+-6)(x-x0)+-6x0+4lnx0, 设ϕ(x)=f(x)-m(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+-6)(x-x0)-(-6x0+4lnx0), 则φ(x0)=0. ϕ′(x)=2x+-6-(2x0+-6)=2(x-x0)(1-)=(x-x0)(x-) 若x0<,ϕ(x)在(x0,)上单调递减, ∴当x∈(x0,)时,φ(x)<φ(x0)=0,此时<0; 若x0>,ϕ(x)在(,x0)上单调递减, ∴当x∈(,x0)时,φ(x)>φ(x0)=0,此时<0. ∴y=f(x)在(0,)∪(,+∞)上不存在“类对称点”. 若x0=,ϕ′(x)=(x-)2>0, ∴φ(x)在(0,+∞)上是增函数, 当x>x0时,φ(x)>φ(x0)=0, 当x<x0时,φ(x)<φ(x0)=0,故>0. 即此时点P是y=f(x)的“类对称点” 综上,y=f(x)存在“类对称点”,是一个“类对称点”的横坐标. |