(1)∵f(x)=(x∈R), ∴a=1时,f(x)=, ∴f′= , ∴f′(2)=0,f(2)==, ∴过(2,f(2))切线方程为y=. (2)∵f(x)=(x∈R), ∴f′(x)==, ∵f(x)在区间[-1,1]上是增函数, ∴f′(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立, 即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. 设g(x)=x2-ax-2,则问题等价于
| g(1)=1-a-2≤0 | g(-1)=1+a-2≤0 |
| | ,解得-1≤≤1. ∴A=[-1,1]. (3)由=,得x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0, ∴x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实数根, ∴x1+x2=a,x1x2=-2, 从而|x1-x2|=≤3, ∴不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1,1]恒成立. ∴m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立, ∴m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立, 设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),则问题等价于: | g(-1)=m2-m-2>0 | g(1)=m2+m-2≥0 |
| | , 解得m≤-2,或m≥2. ∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). |