(Ⅰ)当a=1时,函数f(x)=x--lnx, ∴f(1)=1-1-ln1=0.f′(x)=1+-, 曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f"(1)=1+1-1=1. 从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1, 即y=x-1. …(4分) (Ⅱ)f′(x)=a+-=. 要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立. 即:ax2-x+a≥0得:a≥=恒成立. 由于x+≥2, ∴≤, ∴a≥ ∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是[,+∞).…(8分) (III)∵g(x)=在[1,e]上是减函数 ∴x=e时,g(x)min=1,x=1时,g(x)max=e,即g(x)∈[1,e] f"(x)=令h(x)=ax2-x+a 当a≥时,由(II)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1 又g(x)=在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e] 而f(x)max=f(e)=a(e-) -lne,g(x)min=1,即)=a(e-) -lne≥1 解得a≥ ∴实数a的取值范围是[,+∞) |