已知函数f(x)=ex-ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.
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已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0. |
答案
(Ⅰ)∵f′(x)=ex-,x=0是f(x)的极值点,∴f′(0)=1-=0,解得m=1. 所以函数f(x)=ex-ln(x+1),其定义域为(-1,+∞). ∵f′(x)=ex-=. 设g(x)=ex(x+1)-1,则g′(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上为增函数, 又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0;当-1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0. 所以f(x)在(-1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数; (Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时f(x)>0. 当m=2时,函数f′(x)=ex-在(-2,+∞)上为增函数,且f′(-1)<0,f′(0)>0. 故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实数根x0,且x0∈(-1,0). 当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0, 从而当x=x0时,f(x)取得最小值. 由f′(x0)=0,得ex0=,ln(x0+2)=-x0. 故f(x)≥f(x0)=+x0=>0. 综上,当m≤2时,f(x)>0. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-mx2-x+m,其中m∈R. (1)求函数y=f(x)的单调区间; (2)若对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4,求实数m的取值范围; (3)求函数f(x)的零点个数. |
设函数f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3. (Ⅰ)讨论函数h(x)=的单调性; (Ⅱ)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; (Ⅲ)如果对任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx+1. (Ⅰ)当a=-时,求函数f(x)的极值; (Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex且f(0)=1,f(1)=0. (I)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围; (II)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由. |
已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a,b)为常数且a≠0)在x=1处取得极值. (I) 当a=1时,求f(x)的单调区间; (II) 若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值. |
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