已知函数f(x)=12x2+alnx,且f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底数)上的最大值为12e2+1,求a的值.

已知函数f(x)=12x2+alnx,且f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底数)上的最大值为12e2+1,求a的值.

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
2
x2+alnx
,且f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底数)上的最大值为
1
2
e2+1
,求a的值.
答案
f"(x)=x+
a
x

当a=0时,f"(x)>0∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为
1
2
e2
,不符合题意
当a<0时,f"(x)=0,解得x=


-a
,当


-a
≤1时不合题意,当1<


-a
<e,时也不合题意,当


-a
>e也不合题意.
当a>0时,f"(x)>0∴f(x)在区间[1,e]上的最大值为
1
2
e2
+a,
而f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底数)上的最大值为
1
2
e2+1

∴a=1即a的值为1.
举一反三
函数f(x)=x3-3x2+1的单调减区间为______.
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已知函数f(x)=ln(ax+1)+x3-x2-ax.
(Ⅰ)若x=
2
3
为f(x)的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若y=f(x)在[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-1使,方程f(1-x)-(1-x)3=
b
x
有实根,求实数b的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a),设函数f(x)=lnx+
b+2
x+1
(x>1)
,其中b为实数.
(1)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(2)求函数f(x)的单调区间.
题型:江苏难度:| 查看答案
已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.
题型:山东难度:| 查看答案
已知二次函数f(x)=ax2+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=[f(x)-k]x在(-∞,+∞)上是单调减函数,那么:
①求k的取值范围;
②是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.
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