已知函数f(x)=12x2+alnx，且f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为12e2+1，求a的值．

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

x2+alnx，且f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为

e2+1，求a的值．

答案

f"（x）=x+

当a=0时，f"（x）＞0∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为

e2，不符合题意
当a＜0时，f"（x）=0，解得x=

-a

，当

-a

≤1时不合题意，当1＜

-a

＜e，时也不合题意，当

-a

＞e也不合题意．
当a＞0时，f"（x）＞0∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为

e2+a，
而f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为

e2+1，
∴a=1即a的值为1．

举一反三

函数f（x）=x³-3x²+1的单调减区间为______．

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已知函数f（x）=ln（ax+1）+x³-x²-ax．
（Ⅰ）若x=

为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a=-1使，方程f(1-x)-(1-x)3=

有实根，求实数b的取值范围．

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设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+

b+2

x+1

(x＞1)，其中b为实数．
（1）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（2）求函数f（x）的单调区间．

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已知f（x）=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围．

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已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是单调减函数，那么：
①求k的取值范围；
②是否存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．

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