(1)α=时,f(x)=ax2-x. ①当a=0时,f(x)=-x,不合题意;[1,2]⊆[,+∞) ②当a<0时,f(x)=ax2-x在(-∞,]上递增,在[,+∞)上递减,而,故不合题意; ③当a>0时,f(x)=ax2-x在(-∞,]上递减,在[,+∞)上递增, f(x)在[1,2]上的最大值是max{f(1),f(2)}=f(2),所以f(1)≤f(2),即a-≤2a-3,所以a≥1. 综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞). (2)a=1时,F(x)=x2-2xsin2α+lnx定义域为(0,+∞),F/(x)=x+-2sin2α≥2-2sin2α=2cos2α≥0. ①当cosα≠0时,F′(x)>0,F(x)在(0,+∞)上单调递增,从而F(x)在其定义域内没有极值; ②当cosα=0时,F/(x)=x+-2=,令F′(x)=0有x=1,但是x∈(0,1)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)也单调递增,所以F(x)在其定义域内也没有极值. 综上,F(x)在其定义域内没有极值. (3)据题意可知,令F/(x)=ax+-2sin2α=0,即方程ax2-2xsin2α+1=0在(0,+∞)上恒有两个不相等的实数根.即恒成立,因为α∈[,π),sinα∈[,1],所以0<a<. |