(1)由已知f(x)=a(x+1)x(x-1)+3bx(x-1)+1=ax3+3bx2-(a+3b)x+1, ∴f"(x)=3ax2+6bx-(a+3b) ∴解得 ∴f(x)=6x3-12x2+6x+1. (2)∵f"(x)=18x2-24x+6=6(3x-1)(x-1) 由f"(x)>0得,x>1或x<,即f(x)在(1,+∞)和(-∞,)上单调递增, 由f"(x)<0得,<x<1,即f(x)在(,1)上单调递减. (3)方程f(x)=6x-等价于18x3-36x2+19=0. 令g(x)=18x3-36x2+19. 则g"(x)=54x2-72x=18x(3x-4)令g"(x)=0得x=0或x=. 当x∈(0,)时,g"(x)<0,g(x)是单调递减函数; 当x∈(,+∞)时,g"(x)>0,g(x)是单调递增函数; ∵g(1)=1>0,g()=-<0,g(2)=19>0, ∴方程g(x)=0在区间(1,),(,2)内分别有唯一实根. ∴存在正整数m=1使得方程f(x)=6x-在区间(1,2)上有且只有两个不相等的实数跟. |