证明函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2在区间(-∞,-2)内是减函数.

证明函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2在区间(-∞,-2)内是减函数.

题型:不详难度:来源:
证明函数f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2在区间(-∞,-2)内是减函数.
答案
∵f(x)=x2ex-1-
1
3
 x3-x2
∴f"(x)=(x2)′ex-1+x2(ex-1)′-(
1
3
x3)′-(x2)′=2xex-1+x2ex-1-x2-2x
=x2(ex-1-1)+2x(ex-1-1)=(ex-1-1)(x2+2x)
∵x∈(-∞,-2),∴x2+2x>0,
又∵x∈(-∞,-2),∴x-1<-3.
∴ex-1<e-3,∴ex-1-1<e-3-1<0,
∴(ex-1-1)(x2+2x)<0
即当x∈(-∞,-2)时,f"(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,-2)内是减函数.
举一反三
函数f(x)=(x-2)ex的单调递增区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x4-8x2+5.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)的极大值.
题型:不详难度:| 查看答案
函数f(x)=x3+3x2-9x的单调减区间为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=xsinx(x∈R).
(1)证明:f(x+2kπ)-f(x)=2kπsinx,k∈Z;
(2)设x0为f(x)的一个极值点,证明[f(x0)]2=
x40
1+
x20
题型:南昌模拟难度:| 查看答案
已知:a>0,b>0,且a+b=1,求证:(1)


a
+


b


2
;(2)ab+
1
ab
17
4
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