已知函数f(x)=x2-ax-lnx,a∈R.(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在[1,3]上是减函数,求实数a的取值范围;(Ⅲ)令g
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已知函数f(x)=x2-ax-lnx,a∈R. (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在[1,3]上是减函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)令g(x)=f(x)-x2,是否存在负实数a,当x∈(0,e](e是自然对数的底数)时,函数g(x)的最小值是2,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
答案
(Ⅰ)当a=1时,由f′(x)=2x-1-==, ∵函数f(x)=x2+x-lnx的定义域为(0,+∞), ∴当x∈(0,1]时,f′(x)≤0,当x∈[1,+∞)时,f′(x)≥0 ∴函数f(x)=x2+x-lnx的单调递减区间为(0,1], 单调递增区间为[1,+∞)…(4分) (Ⅱ)若函数f(x)在[1,3]上是减函数, 则f′(x)=2x-a-=≤0在[1,3]上恒成立, 因为x>0,令 h(x)=2x2-ax-1, 有得,得a≥…(8分) (III)假设存在负实数a,使g(x)=f(x)-x2,即g(x)=-ax-lnx(x∈(0,e])有最小值2,g′(x)=-a-=-…(9分) (1)当0<-<e,即a<-时,g(x)在(0,-)上单调递减,在(,e]上单调递增 ∴g(x)min=g(-)=1+ln(-a)=2,a=-e,满足条件.…(11分) (2)当-≥e,即a≥-时,g′(x)<0,g(x)在(0,e]上单调递减, 此时g(x)min=g(e)=-ae-1=2, ∴a=-(舍去),即f(x)无最小值.…(13分) 综上,存在负实数a=-e,使得当x∈(0,e]时,f(x)有最小值2.…(14分) |
举一反三
已知函数f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函数. (1)求实数a的取值范围A; (2)当a为A中最小值时,定义数列{an}满足:a1=b∈(0,1),且2an+1=f(an),试比较an与an+1的大小. |
已知实数a>0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32. (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. |
已知函数f(x)=xlnx. (I)若函数g(x)=f(x)+ax在区间[e2,+∞]上为增函数,求a的取值范围; (II)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥恒成立,求实数m的最大值. |
函数f(x)=sin2x在(0,π)上的递减区间是 ______. |
设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0<a<1. (1)求函数f(x)的单调区间、极值; (2)若x∈[0,3a],试求函数f(x)的最值. |
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