已知曲线y=(a-3)x3+lnx存在垂直于y轴的切线,函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,则a的范围为______.

已知曲线y=(a-3)x3+lnx存在垂直于y轴的切线,函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,则a的范围为______.

题型:不详难度:来源:
已知曲线y=(a-3)x3+lnx存在垂直于y轴的切线,函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,则a的范围为______.
答案
∵曲线y=(a-3)x3+lnx存在垂直于y轴的切线,
∴f(x)函数在某一个点处的导数等于零.
由函数的表达式可知f(x)的定义域为x>0,
y=3(a-3)x2+
1
x

∴方程3(a-3)x2+
1
x
=0有解,
等价于3(a-3)x3+1=0有解时求a的范围,
∴a<3;
∵f(x)=x3-ax2-3x+1,
∴f′(x)=3x2-2ax-3,其对称轴为x=
a
3

∵函数f(x)=x3-ax2-3x+1在[1,2]上单调递增,
∴3-2a-3≥0,解得a≤0,
综上,a的范围为(-∞,0].
故答案为:(-∞,0].
举一反三
已知函数f(x)=ex(ax2-2x-2),a∈R且a≠0.
(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线垂直于y轴,求实数a的值;
(2)当a>0时,求函数f(|sinx|)的最小值.
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设命题p:方程
x2
k-7
+
y2
k
=1表示焦点在y轴上的双曲线,
命题q:函数f(x)=x3-kx2+1在(0,2)内单调递减,如果p∧q为真命题,求k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=2x3+ax2+bx+3在x=-1和x=2处取得极值.
(1)求f(x)的表达式和极值.
(2)若f(x)在区间[m,m+4]上是单调函数,试求m的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax-
1
2x
-lnx
在(0,+∞)上是增函数,则a的取值范围是______.
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已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-
a
x
(a>0).
(Ⅰ)当a=5时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)求f(x)的极大值;
(Ⅲ)求证:对于任意a>1,函数f(x)<0在(0,a)上恒成立.
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