(1)当a=-1时,f(x)=-lnx+x2+1. 则f′(x)=-+x. 令f′(x)>0,得-+x>0,即>0,解得:x<0或x>1. 因为函数的定义域为{x|x>0}, 所以函数f(x)的单调增区间为(1,+∞). (2)由函数f(x)=alnx+x2+(a+1)x+1. 因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以f′(x)=+x+a+1==≥0对x∈(0,+∞)恒成立. 即x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立. 所以a≥0. 即实数a的取值范围是[0,+∞). (3)因为a>0,由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数. 因为x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,不妨设x1>x2,所以f(x1)>f(x2). 由|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|恒成立,可得f(x1)-f(x2)>2(x1-x2), 即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立. 令g(x)=f(x)-2x=alnx+x2+(a+1)x+1-2x,则g(x)在(0,+∞)上应是增函数. 所以g′(x)=+x+(a+1)-2=≥0对x∈(0,+∞)恒成立. 即x2+(a-1)x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立. 即a≥-对x∈(0,+∞)恒成立 因为-=-(x+1+-3)≤3-2(当且仅当x+1=即x=-1时取等号), 所以a≥3-2. 所以实数a的最小值为3-2. |