(Ⅰ)′因为函数f(x)=, ∴f′(x)=[a(x-1)]′•x2-(x2)′a(x-1) | x4 | = f′(x)>0⇒0<x<2,f′(x)<0⇒x<0,x>2, 故函数在(0,2)上递增,在(-∞,0)和(2,+∞)上递减. (Ⅱ)设切点为(x,y), 由切线斜率k=1=,⇒x3=-ax+2,① 由x-y-1=x--1=0⇒(x2-a)(x-1)=0⇒x=1,x=±. 把x=1代入①得a=1, 把x=代入①得a=1, 把x=-代入①得a=-1, ∵a>0. 故所求实数a的值为1 (Ⅲ)∵g(x)=xlnx-x2f(x)=xlnx-a(x-1), ∴g′(x)=lnx+1-a,且g′(1)=1-a,g′(e)=2-a. 当a<1时,g′(1)>0,g′(e)>0,故g(x)在区间[1,e]上递增,其最大值为g(e)=a+e(1-a); 当1<a<2时,g′(1)<0,g′(e)>0,故g(x)在区间[1,e]上先减后增且g(1)=0,g(e)>0.所以g(x)在区间[1,e]上的最大值为g(e)=a+e(1-a); 当a>2时,g′(1),0,g′(e)<0,g(x)在区间[1,e]上递减,故最大值为g(1)=0. |