设a为实数，函数f（x）=x3-3ax2+a（1）若a=1，求f（x）的单调区间（2）求f（x）的在[1，+∞）上的极值（3）若a＞0且关于x的方程f（x）=0

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设a为实数，函数f（x）=x³-3ax²+a
（1）若a=1，求f（x）的单调区间
（2）求f（x）的在[1，+∞）上的极值
（3）若a＞0且关于x的方程f（x）=0在[-2，2]有三个不同的实数根，求a的取值范围．

答案

（1）∵a=1时，f（x）=x³-3x²+1，∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2，令f′（x）＜0，得0＜x＜2，
∴a=1时，f（x）的单调区间为（-∞，0），（0，2），（2，+∞）
（2）∵f（x）=x³-3ax²+a，∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），∵x≥1
①当a≤

时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）是单调递增函数，无极值．
②当a＞

时，令f′（x）=0，得x=2a，令f′（x）＞0，得x＞2a，令f′（x）＜0，得1≤x＜2a，
∴f（x）的在[1，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数，
∴f（x）的在[1，+∞）上有极小值为f（2a）=（2a）³-3a（2a）²+a=a-4a³，
（3））∵f（x）=x³-3ax²+a，∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），∵a＞0
令f′（x）＞0，得x＜0，或x＞2a，令f′（x）＜0，得0＜x＜2a，
∴f（x）在（-∞，0）（2a，+∞）上是增函数，在（0，2a）上是减函数．
∴f（x）的极大值为f（0）=a，极小值为f（2a）=a-4a³，
①∵方程f（x）=0有三个不同的实数根，
∴f（0）=a＞0，且f（2a）=a-4a³＜0∴a＞

②∵方程f（x）=0在[-2，2]有三个不同的实数根
∴2a＜2，且

f(2)≥0

f(-2)≤0

，∵f（2）=-11a+8，f（-2）=-11a-8，
∴a＜1，且-11a+8≥0，且-11a-8≤0，
∴-

≤a≤

由①②知，a的取值范围为

＜a≤

举一反三

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x．
（1）如a=b=-3，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-∞，α），（2，β）单调增加，在（α，2），（β，+∞）单调减少，证明：β-α＜6．

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设函数f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）讨论f（x）的极值．

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给出下列四个命题：
①已知a=

∫

π0

sinxdx，点(

，a)到直线

x-y+1=0的距离为1；
②若f"（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀取得极值；
③m≥-1，则函数y=log

(x2-2x-m)的值域为R；
④在极坐标系中，点P(2，

)到直线ρsin(θ-

)=3的距离是2．
其中真命题是______（把你认为正确的命题序号都填在横线上）

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给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在(0，

)上不是凸函数的是（　　）

A．f（x）=sinx+cosx	B．f（x）=lnx-2x
C．f（x）=-x³+2x-1	D．f（x）=-xe^-x

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若函数f（x）=e^x-ax在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为______．

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