已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x.(1)如a=b=-3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2)
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已知函数f(x)=(x3+3x2+ax+b)e-x. (1)如a=b=-3,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在(-∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明:β-α<6. |
答案
(Ⅰ)当a=b=-3时,f(x)=(x3+3x2-3x-3)e-x, 故f′(x)=-(x3+3x2-3x-3)e-x+(3x2+6x-3)e-x=-e-x(x-3-9x)=-x(x-3)(x+3)e-x 当x<-3或0<x<3时,f′(x)>0; 当-3<x<0或x>3时,f′(x)<0. 从而f(x)在(-∞,-3),(0,3)单调增加,在(-3,0),(3,+∞)单调减少; (Ⅱ)f′(x)=-(x3+3x2+ax+b)e-x+(3x2+6x+a)e-x=-e-x[x3+(a-6)x+b-a]. 由条件得:f′(2)=0,即23+2(a-6)+b-a=0,故b=4-a, 从而f′(x)=-e-x[x3+(a-6)x+4-2a]. 因为f′(α)=f′(β)=0, 所以x3+(a-6)x+4-2a=(x-2)(x-α)(x-β)=(x-2)(x2-(α+β)x+αβ). 将右边展开,与左边比较系数得,α+β=-2,αβ=a-2. 故β-α==., 又(β-2)(α-2)<0,即αβ-2(α+β)+4<0.由此可得a<-6. 于是β-α>6. |
举一反三
设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中a≥1. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)讨论f(x)的极值. |
给出下列四个命题: ①已知a=sinxdx,点(,a)到直线x-y+1=0的距离为1; ②若f"(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值; ③m≥-1,则函数y=log(x2-2x-m)的值域为R; ④在极坐标系中,点P(2,)到直线ρsin(θ-)=3的距离是2. 其中真命题是______(把你认为正确的命题序号都填在横线上) |
给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosx | B.f(x)=lnx-2x | C.f(x)=-x3+2x-1 | D.f(x)=-xe-x |
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若函数f(x)=ex-ax在区间(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为______. |
定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef"(x)的图象如图所示,则y=f(x)的增区间是( )A.(-∞,1) | B.(-∞,2) | C.(0,1) | D.(1,2) |
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