已知函数g(x)=ax-2lnx(I)若a>0,求函数g(x)的最小值(Ⅱ)若函数f(x)=g(x)-ax在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围.
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已知函数g(x)=ax-2lnx(I)若a>0,求函数g(x)的最小值(Ⅱ)若函数f(x)=g(x)-ax在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数g(x)=ax-2lnx
(I)若a>0,求函数g(x)的最小值
(Ⅱ)若函数f(x)=g(x)-
a
x
在其定义域内为单调函数,求实数a的取值范围.
答案
(I)求导函数,可得g′(x)=
ax-2
x
∵a>0
∴x∈(0,
2
a
)时,g′(x)<0;x∈(
2
a
,+∞),g′(x)>0
∴函数的单调递减区间为(0,
2
a
),单调递增区间为(
2
a
,+∞),
∴函数在x=
2
a
时,取得极小值,即为最小值,最小值为g(
2
a
)=2-2ln
2
a
;
(II)函数f(x)的定义域为(0,+∞),求导函数,可得f′(x)=
a
x
2
-2x+a
x
2
①若f′(x)≥0,则ax
2
-2x+a≥0在(0,+∞)上恒成立,即
a≥
2x
x
2
+2
=
2
x+
1
x
在(0,+∞)上恒成立,∵
2
x+
1
x
≤1
,∴a≥1,此时函数在(0,+∞)上单调递增;
②若f′(x)≤0,则ax
2
-2x+a≤0在(0,+∞)上恒成立,即
a<
2x
x
2
+2
=
2
x+
1
x
在(0,+∞)上恒成立,∵
2
x+
1
x
>0
,∴a≤0,此时函数在(0,+∞)上单调递减;
综上,a≥1或a≤0.
举一反三
已知函数f(x)=
1
3
x
3
+
1
2
ax
2
+bx+1(x∈R,a,b为实数)有极值,且x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行.
(1)求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使得f′(x)=x的两个根x
1
,x
2
满足0<x
1
<x
2
<1,若存在,求实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:湖北模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
题型:聊城二模
难度:
|
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在下列图象中,可能是函数y=cosx+lnx
2
的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:湖南
难度:
|
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函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d图象如图,则函数y=x
2
+
2
3
bx+
c
3
的单调递增区间为( )
A.(-∞,-2]
B.[3,+∞)
C.[-2,3]
D.[
1
2
,+∞)
题型:江西模拟
难度:
|
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