已知函数（1）当时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．

题型：黑龙江省模拟题难度：来源：

已知函数
（1）当时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；
（2）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ），，．
当时，f′（0）=-3．
又f（0）=-1．                       
则f（x）在x=0处的切线方程为y=-3x-1．                    
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为．
当x∈（a，+∞）时，，所以．
即f（x）在区间上没有零点．                      
当x∈（-∞，a）时，，
令．                                      
只要讨论g（x）的零点即可．，．
当x∈（-∞，a-1）时，，g（x）是减函数；
当x∈（a-1，a）时，，g（x）是增函数．
所以g（x）在区间（-∞，a）最小值为．    
显然，当a=1时，g（a-1）=0，所以x=a-1是f（x）的唯一的零点；
当a＜1时，，所以f（x）没有零点；
当a＞1时，，所以f（x）有两个零点．