已知函数f(x)=x﹣ax2﹣lnx(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣2,求a的值以及切线方程;(2)若f(x)是单调函数
题型:河北省期末题难度:来源:
已知函数f(x)=x﹣ax2﹣lnx(a>0). (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣2,求a的值以及切线方程; (2)若f(x)是单调函数,求a的取值范围. |
答案
解:(1)f′(x)=1﹣2ax﹣ . 由题设,f′(1)=﹣2a=﹣2,a=1, 此时f(1)=0,切线方程为y=﹣2(x﹣1),即2x+y﹣2=0. (2)f′(x)=﹣ , 令△=1﹣8a. 当a≥ 时,△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减. 当0<a< 时,△>0,方程2ax2﹣x+1=0有两个不相等的正根x1,x2, 不妨设x1<x2, 则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)<0, 当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,这时f(x)不是单调函数. 综上,a的取值范围是[ ,+∞). |
举一反三
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(﹣∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=( )·f( ).则a,b,c的大小关系是 |
[ ] |
A. a>b>c B. c>a>b C. c>b>a D. a>c>b |
定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件: ①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数; ③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)设,若存在x∈[1,e],使g(x)<f′(x),求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2+2x,g(x)=lnx. (1)求函数y=xg(x)﹣2x的单调增区间. (2)如果函数y=f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围; (3)是否存在实数a>0,使得方程=f′(x)﹣(2a+1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. |
设f(x)是定义在(﹣π,0)∪(0,π)上的奇函数,其导函数为f′(x),当0<x<π时,f′(x)cosx﹣sinxf(x)>0,则不等式f(x)cosx<0的解集为( ). |
若函数f(x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )。 |
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