设函数f(x)=x3+ax2﹣9x﹣1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求:(Ⅰ)a的值;(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
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设函数f(x)=x3+ax2﹣9x﹣1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求: (Ⅰ)a的值; (Ⅱ)函数f(x)的单调区间. |
答案
解:(Ⅰ)因f(x)=x3+ax2﹣9x﹣1 所以f"(x)=3x2+2ax﹣9= 即当x=时,f"(x)取得最小值. 因斜率最小的切线与12x+y=6平行,即该切线的斜率为﹣12, 所以解得a=±3, 由题设a<0,所以a=﹣3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知a=﹣3, 因此f(x)=x3﹣3x2﹣9x﹣1,f"(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x﹣3)(x+1) 令f"(x)=0,解得:x1=﹣1,x2=3. 当x∈(﹣∞,﹣1)时,f"(x)>0,故f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数; 当x∈(﹣1,3)时,f"(x)<0,故f(x)在(﹣1,3)上为减函数; 当x∈(3,+∞)时,f"(x)>0,故f(x)在(3,+∞)上为增函数. 由此可见,函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞); 单调递减区间为(﹣1,3). |
举一反三
已知函数,且.(e是自然对数的底数) (1)求a与b的关系式; (2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围. |
已知函数满足对任意的实数x1≠x2都有成立,则实数a的取值范围为 |
[ ] |
A.(﹣∞,2) B. C.(﹣∞,2] D. |
已知函数f(x)= ,g(x)=alnx,a∈R. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程; (2)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式; (3)对(2)中的φ(a),证明:当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1. |
已知f(x)=ex﹣ax﹣1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)求证:ex>x+1(x≠0). |
已知a是实数,函数f(x)=x2(x﹣a). (1)若f"(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值. |
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