函数f(x)=x3﹣(a+1)x+a,g(x)=xlnx. (Ⅰ)若y=f(x),y=g(x)在x=1处的切线相互垂直,求这两个切线方程. (Ⅱ)若F(x)=f
题型:山东省月考题难度:来源:
函数f(x)=x3﹣(a+1)x+a,g(x)=xlnx. (Ⅰ)若y=f(x),y=g(x)在x=1处的切线相互垂直,求这两个切线方程. (Ⅱ)若F(x)=f(x)﹣g(x)单调递增,求a的范围. |
答案
解:(I)f"(x)=3x2﹣(a+1),g"(x)=lnx+1 ∴f"(1)=2﹣a g"(1)=1 ∵两曲线在x=1处的切线互相垂直 ∴(2﹣a)×1=﹣1 ∴a=3 ∴f"(1)=﹣1 f(1)=0 ∴y=f(x)在x=1处的切线方程为x+y﹣1=0, 同理,y=g(x)在x=1处的切线方程为x﹣y﹣1=0 (II)由F(x)=x3﹣(a+1)x+a﹣xlnx 得F"(x)=3x2﹣(a+1)﹣lnx﹣1=3x2﹣lnx﹣a﹣2 ∵F(x)=f(x)﹣g(x)单调递增 ∴F"(x)≥0恒成立 即a≤3x2﹣lnx﹣2 令h(x)=3x2﹣lnx﹣2 令h"(x)>0得, 令h"(x)<0得 ∴ ∴a的范围为(-∞,)。 |
举一反三
已知函数. (Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f"(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为 |
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A.1 B.2 C.3 D.4 |
已知函数. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值; (Ⅱ)求f(x)的单调区间. |
已知函数:. (1)当a=﹣3时,求过点(1,0)曲线y=f(x)的切线方程; (2)求函数y=f(x)的单调区间; (3)函数是否存在极值?若有,则求出极值点;若没有,则说明理由. |
已知函数. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)设g(a)为f(x)在[0,2]上的最小值,求出g(a)的表达式. |
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