设函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a．（Ⅰ）设g（x）=f"（x），求g（x）函数的单调区间；（Ⅱ）若，试研究函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零点个

题型：山东省月考题难度：来源：

设函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a．
（Ⅰ）设g（x）=f"（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试研究函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零点个数．

答案

解：（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）
∵g（x）=f"（x）=+lnx，
∴g"（x）=﹣，
（1）当a≤0时，g"（x）＞0，
∵g（x）在（0，+∞）上单调递增，故g（x）单调区间是（0，+∞）
（2）当a＞0时，g"（x）＞0，
∵g（x）在（a，+∞）上单调递增，再由g"（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）=+lna=1+lna．
∵a≥，
∴lna≥﹣1，
∴g（a）≥0。
∴f"（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（e）=（e+a）lne﹣e+a=2a＞0，＜0，∴内有零点．
故函数f（x）=（x+a）lnx﹣x+a的零点个数为1．