对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,如果函数有且仅有两个不动点0,2,且。(1)求函数f(x)的单调区间;(2
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对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点,如果函数有且仅有两个不动点0,2,且。(1)求函数f(x)的单调区间;(2
题型:湖南省月考题
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来源:
对于函数f(x),若存在x
0
∈R,使f(x
0
)=x
0
成立,则称x
0
为f(x)的不动点,如果函数
有且仅有两个不动点0,2,且
。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知数列{a
n
}各项不为零且不为1,满足
,求证:
;
(3)设
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和,求证:T
2012
-1<ln
2012
<T
2011
。
答案
解:(1)设
,可得 (1-b)x
2
+cx+a=0,(b≠1)
由于函数
有且仅有两个不动点0,2,
故0,2是方程(1-b)x
2
+cx+a=0的两个根,
∴
,解得
,
所以
由
可得-1<c<3
又b,c∈N*,
所以c=2,b=2,
所以
,
于是
,
令f′(x)>0,求得 x<0,或x>2,求得f(x)的增区间为(-∞,0),(2,+∞)
令f′(x)<0,求得 0<x<1,或2>x>1,
求得f(x)的增区间为(0,1),(1,2)。
(2)由已知
可得
,
当n≥2时,
两式相减得(a
n
+a
n-1
)(a
n
-a
n-1
+1)=0,
所以a
n
=-a
n-1
或a
n
-a
n-1
=-1
当n=1时,
,
若a
n
=-a
n-1
,则a
2
=1与a
n
≠1矛盾,所以a
n
-a
n-1
=-1,
从而a
n
=-n,
于是要证的不等式即为
,
于是我们可以考虑证明不等式:
,
令
,
则t>1,
再令
,
由t∈(1,+∞)知g′(t)>0,
所以当t∈(1,+∞)时,g(t)单调递增,
所以g(t)>g(1)=0,
于是t-1>lnt,
即
①
令
,
,
当t∈(1,+∞)时,h(t)单调递增,
所以h(t)>h(1)=0,于是
,
即
由①②可知
,
所以
,即原不等式成立。
(3)由(2)可知
,
,
在
中,令n=1,2,3,4,…,2011,
并将各式相加得
,
即T
2012
-1<ln
2012
<T
2011
。
举一反三
若函数f(x)=2x
2
﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是
[ ]
A.[1,+
)
B.
C.[1,2)
D.
题型:安徽省月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
﹣alnx(a
R).
(1)若a=2,求证:f(x)在(1,+
)上是增函数;
(2)求f(x)在[1,+
)上的最小值.
题型:安徽省月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
﹣2alnx,
.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若
对于任意的
恒成立,求实数a的取值范围.
题型:安徽省月考题
难度:
|
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若函数f(x)在定义域R内可导,f(2+x)=f(2﹣x),且当x
(﹣
,2)时,(x﹣2)f"(x)>0.设a=f(1),
,c=f(4),则a,b,c的大小为
_________
.
题型:湖南省月考题
难度:
|
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设函数
f
(
x
)是定义在
R
上的奇函数,且
f
(2)=0,当
x
>0时,有
恒成立,则不等式 x
2
f
(
x
)>0的解集为
[ ]
A.(-2,0)∪(2,+∞)
B. (-2,0)∪(0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D. (-∞,-2)∪(0,2)
题型:河北省期中题
难度:
|
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