已知函数f(x)=ex-ln(x+1)。(e是自然对数的底数) (1)判断f(x)在[0,+∞)上是否是单调函数,并写出f(x)在该区间上的最小值; (2)证明
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已知函数f(x)=ex-ln(x+1)。(e是自然对数的底数) (1)判断f(x)在[0,+∞)上是否是单调函数,并写出f(x)在该区间上的最小值; (2)证明
题型:湖北省期中题
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来源:
已知函数f(x)=e
x
-ln(x+1)。(e是自然对数的底数)
(1)判断f(x)在[0,+∞)上是否是单调函数,并写出f(x)在该区间上的最小值;
(2)证明:
(n∈N*)。
答案
解:(1)∵
,
令
,
∴g(x)在[0,+∞)单增,g(x)≥g(0)=0,
∴f(x)在[0,+∞)单增,所以最小值为f(0)=1;
(2)由(1)知当x=0时,f(x)取得最小值,即f(x)≥f(0)=1,
∴
,即
,
取
,则
,
于是
…
相加得
,故得证。
举一反三
已知函数f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe
1-x
。
(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域T;
(2)是否存在实数a,对任意给定的集合T中的元素t,在区间[1,e]上总存在两个不同的x
i
(i=1,2),使得f(x
i
)=t成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)函数f(x)图像上是否存在两点A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
),使得割线AB的斜率恰好等于函数f(x)在AB中点M(x
0
,y
0
)处切线斜率?请写出判断过程。
题型:湖北省期中题
难度:
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已知函数
+4x+1,g(x)=mx+5。
(1)当m≥4时,求f(x)的单调递增区间;
(2)是否存在m<0,使得对任意的x
1
,x
2
∈[2,3],都有f(x
1
)-g(x
2
)≤1恒成立,若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由。
题型:重庆市月考题
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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对任意的t∈[1,2],若函数g(x)=x
3
+x
2
[f′(x)+
]在区间(t,3)上有最值,求实数m取值范围;
(3)求证:
)(n∈N*且n>1)。
题型:江西省月考题
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设函数f(x)=a
2
lnx-x
2
+ax,a≠0。
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若f(1)≥e-1,求使f(x)≤e
2
对x∈[1,e]恒成立的实数a的值。(注:e为自然对数的底数)
题型:广东省月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=lnx+
+x(a∈R)。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若以函数y=f(x)-x(0<x≤3)图像上任意一点P(x
0
,y
0
)为切点的切线的斜率恒成立,求实数a的最小值。
题型:广东省月考题
难度:
|
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