已知函数f(x)=alnx+x2（a为实常数），(Ⅰ)若a=-2，求证：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数； (Ⅱ)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应

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已知函数f(x)=alnx+x²（a为实常数），
(Ⅰ)若a=-2，求证：函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；
(Ⅱ)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值．

答案

解：(Ⅰ)当a=-2时，，
当，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数。
(Ⅱ)，
当，
ⅰ)若a≥-2，在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时，。
ⅱ)若，当时，=0，
当时，＜0，此时f（x）是减函数；
当时，＞0，此时f（x）是增函数；
故；
ⅲ)若，在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时，；
综上可知，当a≥2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当时，f（x）的最小值为，相应的x值为；
当时，f（x）的最小值为，相应的x值为e。