已知函数.(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;(3)设为正实数,且,求证:.
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已知函数.(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围;(3)设为正实数,且,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
.
(1)若
是函数
的极值点,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数
在
上为单调增函数,求
的取值范围;
(3)设
为正实数,且
,求证:
.
答案
(1)
;(2)
;(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)根据题意,可得
,又由
为
极值点,故
,代
入并检验即可得到
,从而切线斜率
,切点为
,因此切线方程为
;
由(1)
,故
在
上为单调增函数等价于
在
上恒成立,将不等式变形为
,从而问题等价于求使
在
上恒成立的
的取值范围,而
,当且仅当
时,“
”成立,即
,因此只
需
,∴
,即
的取值范围是
;
(3)要证
,只需证
,
即证
只需证
,由(2)中所得,令
,则
,
由(2)知
在
上是单调增函数,又
,因此
,即
成立,即有
.
试题解析:(1)∵
,∴
又∵
是函数
的极值点,∴
,代入得
,经检验
符合题意,
从而切线斜率
,切点为
,∴切线方程为
;
(2)由(1)
,
∵
上为单调增函数,∴
上恒成立,
即
在
上恒成立,将不等式变形为
,即需使
在
上恒成立,而
,当且仅当
时,“
”成立,因此只需
,∴
,
∴
的取值范围是
;
由(2),令
,则
,由(2)知
在
上是单调增函数,又∵
,∴
,∴
,
即
.
举一反三
已知函数
(
,
为常数),当
时,函数
有极值,若函数
有且只有三个零点,则实数
的取值范围是
.
题型:不详
难度:
|
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设函数
在
上的导函数为
,
在
上的导函数为
,若在
上,
恒成立,则称函数
在
上为“凸函数”.已知当
时,
在
上是“凸函数”.则
在
上 ( )
A.既有极大值,也有极小值
B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值
D.没有极大值,也没有极小值
题型:不详
难度:
|
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点P是曲线x
2
-y-2ln
=0上任意一点,则点P到直线4x+4y+1=0的最短距离是( )
A.
(1-ln 2)
B.
(1+ln 2)
C.
D.
(1+ln 2)
题型:不详
难度:
|
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若函数
在[-1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]上的最小值是__________
题型:不详
难度:
|
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函数
在[0,3]上的最大值和最小值分别是
A.5,15
B.5,-14
C.5,-15
D.5,-16
题型:不详
难度:
|
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