用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积.
题型:不详难度:来源:
用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米,那么高为多少时容器的容器最大?并求出它的最大容积. |
答案
容器高为1.2m时容器的容积最大,最大容积为1.8m3. |
解析
试题分析:令容器底面宽为m,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m,由实际意义可得0<x<1.6,由长方体体积写出容积的表达式,求导得,进而求得0<x<1时,;1<x<1.6时,,可知当时有最大值,求之得最大容积. 解:设容器底面宽为x m,则长为(x+0.5)m,高为(3.2-2x)m, 由解得0<x<1.6, 3分 设容器的容积为y, 则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)= 6分 , 令=0,即, 解得x=1,或x= (舍去). 8分 ∵0<x<1时,;1<x<1.6时,, ∴在定义域(0,1.6)内x=1是唯一的极值点,且是极大值点, ∴当x=1时,y取得最大值为1.8, 10分 此时容器的高为3.2-2=1.2m, 因此,容器高为1.2m时容器的容积最大,最大容积为1.8. 12分 |
举一反三
已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图,则( )
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点 | B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点 | C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点 | D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点 |
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定义在R上的可导函数 f(x)=x2 + 2xf′(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1, 则m的取值范围是( ) |
用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架,如果所制的容器的长与宽之比为2∶1,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. |
已知函数既有极大值又有极小值,则实数的取值范围是 。 |
函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小值为( ) |
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