[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．

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[2013·浙江高考]已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e^x－1)(x－1)^k(k＝1,2)，则(　　)

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

答案

C

解析

当k＝1时，f(x)＝(e^x－1)(x－1)，
f′(x)＝xe^x－1，
∵f′(1)＝e－1≠0，
∴f(x)在x＝1处不能取到极值；
当k＝2时，f(x)＝(e^x－1)(x－1)²，f′(x)＝(x－1)(xe^x＋e^x－2)，
令H(x)＝xe^x＋e^x－2，
则H′(x)＝xe^x＋2e^x>0，x∈(0，＋∞)．
说明H(x)在(0，＋∞)上为增函数，
且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，
因此当x₀<x<1(x₀为H(x)的零点)时，f′(x)<0，f(x)在(x_0,1)上为减函数．
当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴x＝1是f(x)的极小值点，故选C.