(本题满分16分)函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0.(1)求a,b的值; (2)求函
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(本题满分16分)函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0.(1)求a,b的值; (2)求函
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分16分)
函数
f
(
x
)=
x
3
+3
ax
2
+3
bx
+
c
在
x
=2处有极值,其图象在
x
=1处的切线平行于直线3
x
+
y
+2=0.
(1)求
a
,
b
的值; (2)求函数的极大值与极小值的差.
答案
(1)
a
=-1,
b
=0
(2)4
解析
(1)
f
¢(
x
)=3
x
2
+6
ax
+3
b
.令
f
¢(
x
)=0,得3
x
2
+6
ax
+3
b
=0(Ⅰ),因为
f
(
x
)在
x
=2处有极值,所以,
x
=2是方程(Ⅰ)的根,代入得4+4
a
+
b
=0 ①;又图象在
x
=1处的切线平行于直线3
x
+
y
+2=0,故
y
¢|
x
=
1
=-3,即3+6
a
+3
b
=-3 ②.所以由①,②解得
a
=-1,
b
=0.
(2)由(1)知
f
(
x
)=
x
3
-3
x
2
+
c
,
f
¢(
x
)=3
x
2
-6
x
.
f
¢(
x
)=0的另一个根为
x
=0.列表如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f
¢(
x
)
+
0
-
0
+
f
(
x
)
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此,当
x
=0时,
f
(
x
)有极大值
f
(0)=
c
;当
x
=2时,
f
(
x
)有极小值
f
(2)=
c
-4.所以,所求的极大值与极小值之差为
c
-(
c
-4)=4.
举一反三
函数
在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是
、
。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
图象上的点
处的切线方程为
。若函数
在
=-2处有极值,求
的表达式。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
。
(1)当
时,求函数
的最小值;
(2)若对于任意
>0恒成立,试求实数
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
有极大值又有极小值,则
的取值范围是
.
题型:不详
难度:
|
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(16分)已知函数
, (其中
),
,设
.
(Ⅰ)当
时,试将
表示成
的函数
,并探究函数
是否有极值;
(Ⅱ)当k=4时,若对任意的
,存在
,使
,试求实数b的取值范围.。
题型:不详
难度:
|
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