(本题满分16分)函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0.(1)求a,b的值;  (2)求函

(本题满分16分)函数f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0.(1)求a,b的值;  (2)求函

题型:不详难度:来源:
(本题满分16分)
函数f(x)=x3+3ax2+3bxcx=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线3xy+2=0.
(1)求ab的值;  (2)求函数的极大值与极小值的差.
答案
(1)a=-1,b=0
(2)4
解析
(1)f¢(x)=3x2+6ax+3b.令f¢(x)=0,得3x2+6ax+3b=0(Ⅰ),因为f(x)在x=2处有极值,所以,x=2是方程(Ⅰ)的根,代入得4+4ab=0 ①;又图象在x=1处的切线平行于直线3xy+2=0,故y¢|x1=-3,即3+6a+3b=-3 ②.所以由①,②解得a=-1,b=0.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2cf¢(x)=3x2-6xf¢(x)=0的另一个根为x=0.列表如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f¢(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值

 
因此,当x=0时,f(x)有极大值f(0)=c;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=c-4.所以,所求的极大值与极小值之差为c-(c-4)=4.
举一反三
函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是           
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已知函数图象上的点处的切线方程为。若函数=-2处有极值,求的表达式。
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已知函数
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若对于任意>0恒成立,试求实数的取值范围。
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已知函数有极大值又有极小值,则的取值范围是                 .
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(16分)已知函数, (其中),,设.
(Ⅰ)当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值;
(Ⅱ)当k=4时,若对任意的,存在,使,试求实数b的取值范围.。
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