设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过点P(1,0),且在点P处的切线斜率为2.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求f(x)的极值点;(Ⅲ)对定义域内

设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过点P(1,0),且在点P处的切线斜率为2.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求f(x)的极值点;(Ⅲ)对定义域内

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设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过点P(1,0),且在点P处的切线斜率为2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求f(x)的极值点;
(Ⅲ)对定义域内任意一个x,不等式f(x)≤2x-2是否恒成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=x+ax2+blnx(x>0)
f′(x)=1+2ax+
b
x

∵y=f(x)在点P(1,0)处的切线斜率为2,





f(1)=0
f′(1)=2





1+a=0
1+2a+b=2

解得





a=-1
b=3

∴a=-1,b=3.
(Ⅱ)∵f(x)=x-x2+3lnx(x>0)
f′(x)=1-2x+
3
x
=
-2x2+x+3
x

f′(x)=
(-2x+3)(x+1)
x

由x>0可得,
当f"(x)>0时,解得0<x<
3
2

当f"(x)<0时,解得x>
3
2

列表可得:
故f(x)只有极大值点,且极大值点为x=
3
2

(Ⅲ)令g(x)=f(x)-2x+2,得g(x)=-x2-x+2+3lnx(x>0),
g′(x)=-2x-1+
3
x
=
-2x2-x+3
x

g′(x)=
(2x+3)(-x+1)
x

由x>0可得,
当g"(x)>0时,解得0<x<1;
当g"(x)<0时,x>1.
列表可得:
由表可知g(x)的最大值为g(1)=0.
即g(x)≤0恒成立,因此f(x)≤2x-2恒成立.
举一反三
已知f(x)=-
1
2
x3+x2+x-1
,则过点(2,1)的切线方程是______.
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设曲线f(x)=ax2+4,若x=1处切线斜率为2,则a的值为(  )
A.1B.-1C.2D.-2
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已知曲线C:y=3x-x3及点P(2,2),过点P向曲线C引切线,则切线的条数为(  )
A.0B.1C.2D.3
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函数f(x)=alnx+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=______,b=______.
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已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a)
(1)如果f′(1)=3,求a的值;
(2)在(1)的条件下,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
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