已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=1处取得极值c-4.(1)求a,b;(2)设函数y=f(x)为R上的奇函数,求函数f(x)在区间(-2,0)上的极值.
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已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=1处取得极值c-4. (1)求a,b; (2)设函数y=f(x)为R上的奇函数,求函数f(x)在区间(-2,0)上的极值. |
答案
(1)∵f(x)=ax3+bx+c, ∴f′(x)=3ax2+b; 又f(x)在x=1处取得极值c-4, ∴,即,∴; (2)∵y=f(x)为R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),即a(-x)3+b(-x)+c=-(ax3+bx+c), ∴c=0,∴f(x)=2x3-6x; ∴f′(x)=6x2-6=6(x+1)(x-1), 令f′(x)=0,得x=-1或x=1,∵x∈(-2,0),∴取x=-1; ∴当x∈(-2,-1),f′(x)>0,当x∈(-1,0)时,f′(x)<0; ∴f(x)在x=-1处有极大值为f(-1)=-2+6=4,无极小值. |
举一反三
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程. |
已知函数f(x)=x3-3x2+1,则在曲线y=f(x)的切线中,斜率最小的切线方程是______. |
已知函数f(x)=lnx-ax2+bx(a>0),且f′(1)=0. (Ⅰ)试用含有a的式子表示b,并求f(x)的极值; (Ⅱ)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2)),使得点M处的切线l∥AB,则称AB存在“伴随切线”.特别地,当x0=时,又称AB存在“中值伴随切线”.试问:在函数f(x)的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”,若存在,求出A、B的坐标,若不存在,说明理由. |
点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线x-y-4=0的距离的最小值是______. |
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