已知f（x）=ex，g（x）=lnx．（Ⅰ）求证：g（x）＜x＜f（x）；（Ⅱ）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（
题型：不详难度：来源：
已知f（x）=ex，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求证：g（x）＜x＜f（x）；
（Ⅱ）设直线l与f（x）、g（x）均相切，切点分别为（x1，f（x1））、（x2，g（x2）），且x1＞x2＞0，求证：x1＞1． |
答案
（Ⅰ）证明：令h（x）=f（x）-x=ex-x，h′（x）=ex-1，
令h′（x）=0，解得x=0．
当x＜0时，h′（x）＜0；当x＞0时，h′（x）＞0．
∴当x=0时，ymin=e0-0=1＞0
∴ex＞x．
令u（x）=x-g（x）=x-lnx，u′(x)=1-=（x＞0）．
令u′（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，u′（x）＜0；当x＞1时，u′（x）＞0．
∴当x=1时，umin=1-ln1=1＞0．
∴x＞lnx，（x＞0），
∴g（x）＜x＜f（x）．
（Ⅱ）f"（x）=ex，g′(x)=，
切点的坐标分别为(x1，ex1)，(x2，lnx2)，可得方程组：
∵x1＞x2＞0，
∴ex1＞1，∴=ex1＞1，
∴0＜x2＜1．
由②得lnx2-ex1=ex1(x2-x1)，
∴lnx2=ex1(x2-x1+1)．
∵0＜x2＜1，∴lnx2＜0，
∴x2-x1+1＜0，即x1＞x2+1＞1．
∴x1＞1． |
举一反三
已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x-＞lnx+． |
已知函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围． |
已知f（x）=ax-ln（-x），x∈（-e，0），g（x）=-，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=-1时，f（x）的单调性、极值；
（2）求证：在（1）的条件下，|f（x）|＞g（x）+．
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由． |
| 若不等式x+2≤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（ ） |
已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx（a≠0）
（I）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）若a=2，b=1，若函数k=g（x）-2f（x）-x2在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数k的取值范围；
（III）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由． |
最新试题
热门考点