已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当

已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由;
(3)求证:当x∈(0,e]时,e2x-
5
2
>lnx+
lnx
x
答案
(1)求导函数可得f′(x)=
2x2+ax-1
x

因为函数f(x)在[1,2]上是减函数,所以f′(x)=
2x2+ax-1
x
≤0在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax-1,有





h(1)≤0
h(2)≤0





a≤-1
a≤-
7
2
,∴a≤-
7
2

(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g′(x)=
ax-1
x

①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),
②当0<
1
a
<e时,g(x)在(0,
1
a
)上单调递减,在(
1
a
,e]上单调递增
∴g(x)min=g(
1
a
))=1+lna=3,a=e2,满足条件.
③当
1
a
≥e
时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),
综上,存在实数a=e2,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3.
(3)证明:由(2)知当a=e2,g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,即g(x)=e2x-lnx≥3
又原不等式成立只须e2x-lnx>
5
2
+
lnx
x
成立
令F(x)=
5
2
+
lnx
x
,则F′(x)=
1-lnx
x2

当0<x≤e时,F"(x)≥0,∴F(x)在(0,e]上单调递增
故F(x)max=F(e)=
1
e
+
5
2
3
故当x∈(0,e]时,e2x-
5
2
>lnx+
lnx
x
,即原命题得证
举一反三
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;
(Ⅲ)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
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已知f(x)=ax-ln(-x),x∈(-e,0),g(x)=-
ln(-x)
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=-1时,f(x)的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,|f(x)|>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,如果存在,求出a的值;如果不存在,说明理由.
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若不等式x+2


2xy
≤a(x+y)对一切正数x、y恒成立,则正数a的最小值为(  )
A.1B.2C.


2
+
1
2
D.2


2
+1
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已知函数f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0)
(I)若a=-2时,函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(II)若a=2,b=1,若函数k=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数k的取值范围;
(III)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于P,Q两点,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于M、N两点,问是否存在点R,使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行?若存在,求出R的横坐标;若不存在,请说明理由.
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曲线y=x3+2x2-2x-1在点x=1处的切线方程是(  )
A.y=5x-1B.y=5x-5C.y=3x-3D.y=x-1
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