已知函数f(x)=x3-3ax-1在x=-1处取得极值.(1)求a的值,并求f(x)在区间[-2,3]上的值域.(2)若直线y=9x+m与y=f(x)的图象有三
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已知函数f(x)=x3-3ax-1在x=-1处取得极值. (1)求a的值,并求f(x)在区间[-2,3]上的值域. (2)若直线y=9x+m与y=f(x)的图象有三个不同的公共点,求m的取值范围. |
答案
(1)f"(x)=3x2-3a, ∴f"(-1)=0⇒a=1, f"(x)=3(x2-1)=3(x+1)(x-1)>0⇒x>1或x<-1; f"(x)<0⇒-1<x<1. 在区间[-2,3]上的单调递增区间分别为[-2,-1]、[1,3]; 递减区间为(-1,1)…(6分) ∴y极大值=f(-1)=1,y极小值=f(1)=-3,又f(-2)=-3,f(3)=17, ∴值域为[-3,17]…(8分) (2)在函数f(x)的图象上与直线y=9x+m平行的切线共有两条, 当直线两切线之间时,该直线与函数f(x)的图象有三个不同的交点. 由f′(x)=3(x2-1)=9⇒x=±2,故切点坐标为(-2,-3),(2,1), 切线方程分别为:y+3=9(x+2),它们在y轴上的截距分别为15、-17, ∴m的取值范围为(-17,15); |
举一反三
已知f(x)=ax3-9x2+cx(a>0),其导函数的图象经过点(1,0),(2,0),则f(x)的极大值为______. |
已知函数f(x)=(a∈R). (1)当a=1时,求f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)当a>-1时,解关于x的不等式f(x)>0; (3)求函数f(x)在[0,2]上的最小值. |
直线y=-x+b是函数f(x)=的切线,则实数b=______. |
函数f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,则此切线方程为______. |
已知函数f(x)=(a∈R). (Ⅰ)若a=4,求曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)的极值; (Ⅲ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点,求实数a的取值范围. |
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