设a>0,函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx.(1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值;(2)求函数f(x)的极值点.

设a>0,函数f(x)=12x2-(a+1)x+alnx.(1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值;(2)求函数f(x)的极值点.

题型:不详难度:来源:
设a>0,函数f(x)=
1
2
x2-(a+1)x+alnx

(1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值点.
答案
(1)由已知x>0
f′(x)=x-(a+1)+
a
x

曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,
所以f"(2)=-1即2-(a+1)+
a
2
=-1
,解得a=4
(2)f′(x)=x-(a+1)+
a
x
=
x2-(a+1)x+a
x
=
(x-1)(x-a)
x

①当0<a<1时,
当x∈(0,a)时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(a,1)时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点.
②当a=1时,
当x∈(0,1)时,f"(x)>0,
当x=1时,f"(x)=0,
当∈(1,+∞)时,f"(x)>0
所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点.
③当a>1时,当x∈(0,1)时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(a,1)时,f"(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f"(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.
综上,当0<a<1时,x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点;
当a=1时,f(x)没有极值点;
当a>1时,x=1是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点
举一反三
lim
x→1


x+3
-2


x
-1
=(  )
A.
1
2
B.0C.-
1
2
D.不存在
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已知函数f(x)=x-
1
2
a(x-1)2-lnx
,其中a∈R.
(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(2)若∀x>0,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.
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曲线y=2x2在点P(1,2)处的切线方程是(  )
A.4x-y-2=0B.4x+y-2=OC.4x+y+2=OD.4x-y+2=0
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx+ax2+bx
(1)若曲线y=f(x),在点(1,f(1))处的切线与圆x2+y2=1相切,求b取值范围;
(2)若2a+b+1=0,讨论函数的单调性;
(3)证明:2+
3
22
+
4
32
+…
n+1
n2
>1n(n+1)(n∈N*
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已知函数,f(x)=x,g(x)=
3
8
x2+lnx+2

(Ⅰ) 求函数F(x)=g(x)-2•f(x)的极大值点与极小值点;
(Ⅱ) 若函数F(x)=g(x)-2•f(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值(e为自然对数的底数);
(Ⅲ) 设bn=f(n)
1
f(n+1)
(n∈N*),试问数列{bn}中是否存在相等的两项?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由.
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