已知P(x,y)为函数y=lnx图象上一点,O为坐标原点,记直线OP的斜率f(x).(Ⅰ)求f(x)的最大值;(Ⅱ)令g(x)=x2-ax•f(x),试讨论函数

已知P(x,y)为函数y=lnx图象上一点,O为坐标原点,记直线OP的斜率f(x).(Ⅰ)求f(x)的最大值;(Ⅱ)令g(x)=x2-ax•f(x),试讨论函数

题型:不详难度:来源:
已知P(x,y)为函数y=lnx图象上一点,O为坐标原点,记直线OP的斜率f(x).
(Ⅰ)求f(x)的最大值;
(Ⅱ)令g(x)=x2-ax•f(x),试讨论函数g(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数,e=2.71828…).
答案
(Ⅰ)由题意知f(x)=
lnx
x

∴f′(x)=
1-lnx
x2

当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上递增;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(e,+∞)上递减;
所以,f(x)的最大值为f(e)=
1
e
.…(4分)
(Ⅱ)∵ea>1
∴a>0,且ea-a>0
因为g(x)=x2-ax•f(x)=g(x)=x2-alnx,
所以g′(x)=2x-
a
x
=
2x2-a
x
=
2(x-


2a
2
)(x+


2a
2
)
x

当x∈(0,


2a
x
)时,g′(x)<0,当x∈(


2a
x
,+∞)时,g′(x)>0,
所以g(x)在(0,


2a
x
)上是减函数,在(


2a
x
,+∞)上是增函数.
所以,当x=


2a
x
时,g(x)取最小值g(


2a
x
)=
a
2
(1-ln
a
2
)        …(7分)
下面讨论函数g(x)的零点情况.  
①当
a
2
(1-ln
a
2
)>0,即0<a<2e时,
函数g(x)在(1,ea)上无零点;
②当
a
2
(1-ln
a
2
)=0,即a=2e时,


2a
2
=


e

a
2
<a<ea<e2a


2a
2
<ea,则1<


2a
2
<ea
而g(1)=1>0,g(


2a
2
)=0,g(ea)>0
∴g(x)在(1,ea)上有一个零点;
③当
a
2
(1-ln
a
2
)<0,即a>2e时,ea


2a
2


e
>1,
由于g(1)=1>0,g(


2a
x
)=
a
2
(1-ln
a
2
)<0,
g(ea)>e2a-alnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0,
所以,函数g(x)在(1,ea)上有两个零点.
综上所述,g(x)在(1,ea)上,有结论:
当0<a<2e时,函数g(x)无零点;
当a=2e 时,函数g(x)有一个零点;
当a>2e时,函数g(x)有两个零点.…(10分)
举一反三
lim
x→1
x+a
x2+1
=-1
,则a=______.
题型:东城区一模难度:| 查看答案
lim
x→1
x2-3x+2
x2-1
等于(  )
A.-
1
2
B.
1
2
C.1D.0mathop limits 
题型:不详难度:| 查看答案
设a>0,函数f(x)=
1
2
x2-(a+1)x+alnx

(1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值点.
题型:不详难度:| 查看答案
lim
x→1


x+3
-2


x
-1
=(  )
A.
1
2
B.0C.-
1
2
D.不存在
题型:江西难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x-
1
2
a(x-1)2-lnx
,其中a∈R.
(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(2)若∀x>0,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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