已知函数f(x)=x2(x-a),a∈R.(1)若x=6为函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,4)处的切线方程;(3

已知函数f(x)=x2(x-a),a∈R.(1)若x=6为函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,4)处的切线方程;(3

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2(x-a),a∈R.
(1)若x=6为函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,4)处的切线方程;
(3)设a≥3时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
答案
(1)因为函数f(x)=x2(x-a),所以f′(x)=3x2-2ax,
因为x=6,为函数f(x)的一个极值点,所以f′(6=0),
即3×62-2a×6=0,解得a=9.
(2)当a=1时,f′(x)=3x2-2x,f′(2)=3×22-2×2=8,
所求的切线方程为:y-4=8(x-2),即8x-y-12=0.
(3)当a≥3时,由f′(x)=3x2-2ax=0,解得x1=0,x2=
2a
3
,由f′(x)<0,得0<x<
2a
3

因为a≥3,所以x2=
2a
3
≥2,
所以函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
所以函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2)=8-4a.
举一反三
曲线f(x)=
ex
x-1
在x=0处的切线方程为(  )
A.x-y-1=0B.x+y+1=0C.2x-y-1=0D.2x+y+1=0
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过点P(1,1)且与曲线y=x4相切的切线与直线4x-y+1=0的位置关系是(  )
A.平行B.重合C.垂直D.斜交
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若(5+4x)n展开式中各项二项式系数之和为an(3x2+9


x
)n
展开式中各项系数之和为bn,则
lim
n→∞
an-2bn
3an+4bn
=(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.
1
3
D.-
1
7
题型:武昌区模拟难度:| 查看答案
抛物线y=4x2在点(1,4)处的切线方程是______.
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f(x)=
lnx
x
,则
lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=(  )
A.-1B.0C.1D.2
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