已知函数f(x)=-x3+6x2-9x.若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有三条,求实数m的取值范围.

已知函数f(x)=-x3+6x2-9x.若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有三条,求实数m的取值范围.

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已知函数f(x)=-x3+6x2-9x.若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有三条,求实数m的取值范围.
答案
设过点P(-1,m)的切线切曲线于点(x0,y0),
则切线的斜率k=f"(x0)=-3x02+12x0-9…(2分)
所以切线方程为y=(-3y02+12x0-9)(x+1)+m…(4分)
故y0=(-3x02+12x0-9)(x0+1)+m=-x03+6x02-9x0 …(5分)
要使过P可作曲线y=f(x)的切线有三条,
则方程(-3x02+12x0-9)(x0+1)+m=-x03+6x02-9x0 有三个不同实数根…(7分)
∴m=2x03-3x02-12x0+9 
令g(x)=2x03-3x02-12x0+9
则g"(x)=6x2-6x-12=6x(x-1)(x-2)…(10分)
当x=-1,2为g(x)的极值大、极小值点,
又g(x)有极大值16;g(x)有极小值-11…(12分)
故满足条件的m的取值范围-11<m<16   …(14分)
举一反三
已知函数f(x)=
1
x
,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为______.
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已知函数f(x)=2ax+
1
x
+(2-a)lnx(a∈R).
(Ⅰ)当a=-1时,求f(x)的极值;
(Ⅱ)当-3<a<-2时,若存在x1,x2∈[1,3],使得|f(x1)-f(x2)|>(m+ln3)a-2ln3成立,求实数m的取值范围.
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曲线f(x)=lnx-x2在点(1,-1)处的切线的倾斜角为______.
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已知函数f(x)=x2(x-a),a∈R.
(1)若x=6为函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,4)处的切线方程;
(3)设a≥3时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.
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曲线f(x)=
ex
x-1
在x=0处的切线方程为(  )
A.x-y-1=0B.x+y+1=0C.2x-y-1=0D.2x+y+1=0
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