设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等
题型：肇庆二模难度：来源：
设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）f"（x）=3x2+2ax+b，（1分）
依题意则有：，即解得（2分）
∴f（x）=x3-6x2+9x
令f"（x）=3x2-12x+9=0，解得x=1或x=3（3分）
当x变化时，f"（x），f（x）在区间（0，4]上的变化情况如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，3） | 3 | （3，4） | 4 | | f"（x） | + | 0 | - | 0 | + | | | f（x） | 单调递增↗ | 4 | 单调递减↘ | 0 | 单调递增↗ | 4 |
举一反三
| 已知曲线y=x3+的切线l过点A（2，4），则切线l的斜率为______． | | 设直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线，则实数b的值是______． | | 已知函数f（x）=-x3+6x2-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围． | | 已知函数f(x)=，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为______． | 已知函数f（x）=2ax++（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得|f（x1）-f（x2）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围． |
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