设函数f（x）=x3-ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值；（3）已知当x∈（1，
题型：即墨市模拟难度：来源：
设函数f（x）=x3-ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求实数k的取值范围． |
答案
（1）∵f（x）=x3-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x2-a≥-a，
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a，
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x3-x，f′（x）=3x2-1，
令f′（x）=3x2-1=0，得x=±．
列表讨论：
| x | （-∞，-） | - | （-，） | | （，+∞） | | f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | | f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
举一反三
已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x-y=3，求实数a的值；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求a的值． | 设函数f（x）=x3+ax2+bx（x＞0）的图象与直线y=4相切于M（1，4）．
（1）求y=f（x）在区间（0，4]上的最大值与最小值；
（2）是否存在两个不等正数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，函数f（x）=x3+ax2+bx的值域是[s，t]，若存在，求出所有这样的正数s，t；若不存在，请说明理由． | | 已知曲线y=x3+的切线l过点A（2，4），则切线l的斜率为______． | | 设直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线，则实数b的值是______． | | 已知函数f（x）=-x3+6x2-9x．若过点P（-1，m）可作曲线y=f（x）的切线有三条，求实数m的取值范围． |
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