设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a交x轴于点H,点B是l上的动点,过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M.(I)求点M的轨迹C的方程;(I
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设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a交x轴于点H,点B是l上的动点,过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M.(I)求点M的轨迹C的方程;(I
题型:不详
难度:
来源:
设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a交x轴于点H,点B是l上的动点,过点B垂直于l的直线与线段BF的垂直平分线交于点M.
(I)求点M的轨迹C的方程;
(II)设直线BF与曲线C交于P,Q两点,证明:向量
HP
、
HQ
与
HF
的夹角相等.
答案
(I)连接MF,依题意有|MF|=|MB|,
所以动点M的轨迹是以F(a,0)为焦点,直线l:x=-a为准线的抛物线,
所以C的方程为y
2
=4ax.(5分)
(II)设P,Q的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),
依题意直线BF的斜率存在且不为0,设直线BF的方程为y=k(x-a)(k≠0),
将其与C的方程联立,消去y得k
2
x
2
-2a(k
2
+2)x+a
2
k
2
=0
故x
1
x
2
=a
2
.
记向量
HP
与
HF
的夹角为θ
1
,
HQ
与
HF
的夹角为θ
2
,其中0<θ
1
,θ
2
<π,
因为
HP
=(
x
1
+a,
y
1
),
HF
=(2a,0)
,
所以
cos
θ
1
=
HP
•
HF
|HP|
•
|HF|
=
2a
x
1
+2
a
2
2a
(
x
1
+a)
2
+
y
21
=
x
1
+a
x
21
+6a
x
1
+
a
2
;
同理
cos
θ
2
=
x
2
+a
x
22
+6a
x
2
+
a
2
=
a
2
x
1
+a
a
4
x
21
+6
a
3
x
1
+
a
2
=
x
1
+a
x
21
+6a
x
1
+
a
2
因为cosθ
1
=cosθ
2
,且0<θ
1
,θ
2
<π,
所以θ
1
=θ
2
,即
HP
、
HQ
与
HF
的夹角相等.
举一反三
若抛物线C:x
2
=4y上一点P到定点A(0,1)的距离为2,则P到x轴的距离为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
题型:不详
难度:
|
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已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线
x=-
p
2
-1
(p是正常数)的距离为d
1
,到点
F(
p
2
,0)
的距离为d
2
,且d
1
-d
2
=1.(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线
l
1
:x=-
p
2
的垂线,对应的垂足分别为M、N,求证=
FM
•
FN
=0
;
(3)记S
1
=S
△FAM
,S
2
=S
△FMN
,S
3
=S
△FEN
(A、B、M、N是(2)中的点),
λ=
S
22
S
1
S
3
,求λ 的值.
题型:黄浦区二模
难度:
|
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抛物线
上的一点P到直线
的距离与点P到点(3,0)的距离之和为4,则P点的横坐标可以为 ( )
A.1 B.2 C
.3 D.4
题型:不详
难度:
|
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直线l过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是( )
A.y
2
=12x
B.y
2
=8x
C.y
2
=6x
D.y
2
=4x
题型:丹东二模
难度:
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抛物线y
2
=4x上的点M到其焦点F的距离为4,则点M的横坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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