已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线x=-p2-1(p是正常数)的距离为d1,到点F(p2,0)的距离为d2,且d1-d2=1.(1)求动点P所在曲线C的
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已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线x=-p2-1(p是正常数)的距离为d1,到点F(p2,0)的距离为d2,且d1-d2=1.(1)求动点P所在曲线C的
题型:黄浦区二模
难度:
来源:
已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线
x=-
p
2
-1
(p是正常数)的距离为d
1
,到点
F(
p
2
,0)
的距离为d
2
,且d
1
-d
2
=1.(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l 过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线
l
1
:x=-
p
2
的垂线,对应的垂足分别为M、N,求证=
FM
•
FN
=0
;
(3)记S
1
=S
△FAM
,S
2
=S
△FMN
,S
3
=S
△FEN
(A、B、M、N是(2)中的点),
λ=
S
22
S
1
S
3
,求λ 的值.
答案
解 (1)设动点为P(x,y),(1分)
依据题意,有
|x+
p
2
+1|-
(x-
p
2
)
2
+
y
2
=1
,化简得y
2
=2px.(4分)
因此,动点P所在曲线C的方程是:y
2
=2px.(6分)
(2)由题意可知,当过点F的直线l(3)的斜率为0时,不合题意,
故可设直线l:x=my-1,如图所示.(8分)
联立方程组
y
2
=2px
x=my+
p
2
,可化为y
2
-2mpy-p
2
=0,
则点A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)的坐标满足
y
1
+
y
2
=2mp
y
1
y
2
=-
p
2
.(10分)
又AM⊥l
1
、BN⊥l
1
,可得点
M(-
p
2
,
y
1
)
、
N(-
p
2
,
y
2
)
.
于是,
FM
=(-p,
y
1
)
,
FN
=(-p,
y
2
)
,
因此
FM
•
FN
=(-p,
y
1
)•(-p,
y
2
)=
p
2
+
y
1
y
2
=0
.(12分)
(3)依据(2)可算出x
1
+x
2
=m(y
1
+y
2
)+p=2m
2
p+p,
x
1
x
2
=
y
21
2p
•
y
22
2p
=
p
2
4
,
则
S
1
S
3
=
1
2
(
x
1
+
p
2
)|
y
1
|•
1
2
(
x
2
+
p
2
)|
y
2
|
=
p
2
4
•[
x
1
x
2
+
p
2
(
x
1
+
x
2
)+
p
2
4
]
=
1
4
p
4
(
m
2
+1)
,
S
22
=(
1
2
|
y
1
-
y
2
|•p
)
2
=
p
2
4
[(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
]
=p
4
(1+m
2
).(16分)
所以,
λ=
S
22
S
1
S
3
=4
即为所求.(18分)
举一反三
抛物线
上的一点P到直线
的距离与点P到点(3,0)的距离之和为4,则P点的横坐标可以为 ( )
A.1 B.2 C
.3 D.4
题型:不详
难度:
|
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直线l过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是( )
A.y
2
=12x
B.y
2
=8x
C.y
2
=6x
D.y
2
=4x
题型:丹东二模
难度:
|
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抛物线y
2
=4x上的点M到其焦点F的距离为4,则点M的横坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时P点的坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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若点P到直线y=-1的距离比它到点(0,3)的距离小2,则点P的轨迹方程为 ( )
A.x
2
=12y
B.y
2
=12x
C.x
2
=4y
D.x
2
=6y
题型:不详
难度:
|
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