已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,求实数a的值;(2)若f(x)的值域为[0,+∞),求
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已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,求实数a的值; (2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值. |
答案
(1)求导函数,可得f′(x)=1- ∴f′(1)=1-a ∵曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3, ∴1-a=3 ∴a=-2; (2)f′(x)=1-=(x>0) 当a≤0时,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,而f(1)=0 ∴x∈(0,1)时,f(x)<0与f(x)≥0恒成立矛盾 ∴a≤0不合题意 当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增 ∴f(x)≥f(a)=a-1-alna=0 ∴a=1. |
举一反三
设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4). (1)求y=f(x)在区间(0,4]上的最大值与最小值; (2)是否存在两个不等正数s,t(s<t),当s≤x≤t时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[s,t],若存在,求出所有这样的正数s,t;若不存在,请说明理由. |
已知曲线y=x3+的切线l过点A(2,4),则切线l的斜率为______. |
设直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线,则实数b的值是______. |
已知函数f(x)=-x3+6x2-9x.若过点P(-1,m)可作曲线y=f(x)的切线有三条,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为______. |
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