已知函数g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函数,点M(x0,y0)、N(y0,x0)分别是f(x)、g(x)图象上的点,l1、l2分别是函数f(x)、g(x
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已知函数g(x)是f(x)=x2(x>0)的反函数,点M(x0,y0)、N(y0,x0)分别是f(x)、g(x)图象上的点,l1、l2分别是函数f(x)、g(x)的图象在M,N两点处的切线,且l1∥l2. (Ⅰ)求M、N两点的坐标; (Ⅱ)求经过原点O及M、N的圆的方程. |
答案
(Ⅰ)因为f(x)=x2(x>0),所以g(x)=(x>0). 从而f"(x)=2x,g′(x)=. 所以切线l1,l2的斜率分别为k1=f"(x0)=2x0,k2=g′(y0)=. 又y0=x02(x0>0),所以k2=. 因为两切线l1,l2平行,所以k1=k2. 因为x0>0, 所以x0=. 所以M,N两点的坐标分别为(,),(,). (Ⅱ)设过O、M、N三点的圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为圆过原点,所以F=0.因为M、N关于直线y=x对称,所以圆心在直线y=x上. 所以D=E. 又因为M(,)在圆上, 所以D=E=-. 所以过O、M、N三点的圆的方程为:x2+y2-x-y=0. |
举一反三
设函数f(x)=x3-ax,x∈R.过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间和极值; (3)已知当x∈(1,+∞)时,f(x)-kf(x-1)≥0恒成立,求实数k的取值范围. |
已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y=3,求实数a的值; (2)若f(x)的值域为[0,+∞),求a的值. |
设函数f(x)=x3+ax2+bx(x>0)的图象与直线y=4相切于M(1,4). (1)求y=f(x)在区间(0,4]上的最大值与最小值; (2)是否存在两个不等正数s,t(s<t),当s≤x≤t时,函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[s,t],若存在,求出所有这样的正数s,t;若不存在,请说明理由. |
已知曲线y=x3+的切线l过点A(2,4),则切线l的斜率为______. |
设直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线,则实数b的值是______. |
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