(1)求导函数f′(x)=m+lnx+1, ∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l与直线x+2y=1垂直. ∴f′(1)=m+1=2,∴m=1 ∵f(1)=1,∴直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1; (2)由(1)知,f(x)=x+xlnx, n(2x-1)<f(x)对任意x>恒成立,等价于n<对任意x>恒成立, 令g(x)=,则g′(x)= 令h(x)=2x=lnx-2(x>),则h′(x)=>0 ∴h(x)在(,+∞)上单调递增 ∵h(1)=0 ∴当<x<1时,h(x)<0,∴g′(x)<0, 当x>1时,h(x)>0,∴g′(x)>0, ∴g(x)=在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增 ∴g(x)min=g(1)=1 ∴n<1,即实数n的取值范围是(-∞,1) (3)证明:由(2)知,g(x)=在(1,+∞)上单调递增 ∴当b>a>1时,> ∴b(2a-1)(1+lnb(>a(2b-1)(1+lna) ∴2ablnb+alna>2ablna+blnb+(b-a) ∵b>a,∴2ablnb+alna>2ablna+blnb ∴lnb2ab+lnaa>lna2ab+lnbb ∴ln(b2abaa)>ln(a2abbb) ∴(ab2b)n>(ba2a)b. |