已知函数f(x)=ax+bx2+1在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f

已知函数f(x)=ax+bx2+1在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
ax+b
x2+1
在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立;
(Ⅲ)已知0<a<b,求证:
lnb-lna
b-a
2a
a2+b2
答案
(Ⅰ)将x=-1代入切线方程得y=-2
f(-1)=
b-a
1+1
=-2

化简得b-a=-4
f′(x)=
a(x2+1)-(ax+b)•2x
(1+x2)2

f′(-1)=
2a+2(b-a)
4
=
2b
4
=
b
2
=-1

解得:a=2,b=-2.
f(x)=
2x-2
x2+1

(Ⅱ)由已知得lnx≥
2x-2
x2+1
在[1,+∞)上恒成立
化简(x2+1)lnx≥2x-2
即x2lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立
设h(x)=x2lnx+lnx-2x+2,
h′(x)=2xlnx+x+
1
x
-2

∵x≥1
2xlnx≥0,x+
1
x
≥2

即h"(x)≥0
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,h(x)≥h(1)=0
∴g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立                      
(Ⅲ)∵0<a<b
b
a
>1

由(Ⅱ)知有ln
b
a
2
b
a
-2
(
b
a
)
2
+1

整理得
lnb-lna
b-a
2a
a2+b2

∴当0<a<b时,
lnb-lna
b-a
2a
a2+b2
举一反三
(导数)函数y=x+
3
x
(x>0)
的极小值是______.
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若曲线f(x)=x3-3ax+b在点(2,f(2))处与直线y=8相切,则
b
a
为______.
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已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,(x∈N*),其导函数记为fn′(x),且满足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1
x2-x1
,其中a,x1,x2为常数,x1≠x2.设函数g(x)=f1(x)+mf2(x)-lnf3(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,求m的值;
(Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
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曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标.
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与直线y=4x-1平行的曲线y=x3+x的切线方程是(  )
A.4x-y=0B.4x-y+2=0或4x-y-2=0
C.4x-y-2=0D.4x-y=0或4x-y-4=0
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