已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值;(2)设g(x)=x2-x+3b2-2b.当a
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已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R. (1)讨论a=1时,f(x)的单调性、极值; (2)设g(x)=x2-x+3b2-2b.当a=1时,若对任意x1∈(0,e],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求b的取值范围; (3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
答案
(1)当a=1时f(x)=x-lnx,f′(x)=1-=. 所以当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增. 所以f(x)的极小值为f(1)=1. (2)若对任意x1∈(0,e],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),等价于f(x1)min≥g(x2)min. 由(1)知当x1∈(0,e]时,f(x1)有极小值为1,即当x1∈(0,e]时,f(x1)min=1, 因为g(x)=x2-x+3b2-2b的对称轴为x=, 所以g(x)=x2-x+3b2-2b在x2∈[1,2]上单调递增,其最小值为g(1)=3b2-2b, 所以有3b2-2b≤1,解得-≤b≤1. 故b的取值范围为[-,1]. (3)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)=a-=. ①当a≤0时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=(舍去),所以,此时f(x)无最小值. ②当0<<e时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,e]上单调递增,f(x)min=f()=1+lna=3,a=e2,满足条件. ③当≥e时,f(x)在(0,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=(舍去), 所以,此时f(x)无最小值. 综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3. |
举一反三
已知函数f(x)=在点(-1,f(-1))的切线方程为x+y+3=0. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)设g(x)=lnx,求证:g(x)≥f(x)在x∈[1,+∞)上恒成立; (Ⅲ)已知0<a<b,求证:>. |
(导数)函数y=x+(x>0)的极小值是______. |
若曲线f(x)=x3-3ax+b在点(2,f(2))处与直线y=8相切,则为______. |
已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,(x∈N*),其导函数记为fn′(x),且满足fn′[ax1+(1-a)x2] =,其中a,x1,x2为常数,x1≠x2.设函数g(x)=f1(x)+mf2(x)-lnf3(x),(m∈R且m≠0). (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)若函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,求m的值; (Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值. |
曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标. |
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