已知a,b,c∈R,且三次方程f(x)=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1,x2,x3.(1)类比一元二次方程根与系数的关系,写出此方程根与系数的关系;(
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已知a,b,c∈R,且三次方程f(x)=x3-ax2+bx-c=0有三个实根x1,x2,x3. (1)类比一元二次方程根与系数的关系,写出此方程根与系数的关系; (2)若a∈Z,b∈Z且|b|<2,f(x)在x=α,x=β处取得极值且-1<α<0<β<1,试求此方程三个根两两不等时c的取值范围. |
答案
(1)由已知,得x3-ax2+bx-c=(x-x1)(x-x2)(x-x3),比较两边系数, 得a=x1+x2+x3,b=x1x2+x2x3+x3x1,c=x1x2x3. …(4分) (2)令f(x)=x3-ax2+bx-c,要f(x)=0有三个不等的实数根,则函数f(x)有一个极大值和一个极小值,且极大值大于0,极小值小于0. …(5分) 由已知,得f′(x)=3x2-2ax+b=0有两个不等的实根α,β, ∵-1<α<0<β<1, ∴ | f′(-1)=3+2a+b>0 (1) | f′(0)=b<0 (2) | f′(1)=3-2a+b>0(3) |
| | 得-3<b<0.…(6分) 又|b|<2,b∈Z,∴b=-1,将b=-1代入(1)(3),有-1<a<1,又a∈Z,∴a=0. ∴f(x)=x3-x-c,f′(x)=3x2-1,…(8分) 则α=-,β=,且f(x)在x=-处取得极大值,在x=处取得极小值…(10分) 故f(x)=0要有三个不等的实数根, 则必须 | f(-)=(-)3-(-)-c>0 | f()=()3--c<0 |
| | …(12分) ⇒, 解得-<c<. …(14分) |
举一反三
设函数y=f(x)对任意实数x,都有f(x)=2f(x+1),当x∈[0,1]时,f(x)=x2(1-x). (Ⅰ)已知n∈N+,当x∈[n,n+1]时,求y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于任意的n∈N+,当x∈[n,n+1]时,都有|f(x)|≤; (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x∈[0,+∞),若在它的图象上存在点P,使经过点P的切线与直线x+y=1平行,那么这样点有多少个?并说明理由. |
设曲线f(x)=2ax3-a在点(1,a)处的切线与直线2x-y+1=0平行,则实数a的值为______. |
已知曲线y=x2 (x>0)在点P处切线恰好与圆C:x2+(y+1)2=1相切,则点P的坐标为______. |
求下列极限: (1); (2)(-n); (3)(++…+). |
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x (Ⅰ)求曲线y=f(x)在(1,11)处的切线方程; (Ⅱ)求函数的单调区间 (Ⅲ)求函数在[-2,2]上的最值. |
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