已知函数f(x)=12x2-2x+2,g(x)=loga1x(a>0,且a≠1),函数h(x)=f(x)-g(x)在定义域内是增函数,且h′(x)义域内存在零点
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已知函数f(x)=12x2-2x+2,g(x)=loga1x(a>0,且a≠1),函数h(x)=f(x)-g(x)在定义域内是增函数,且h′(x)义域内存在零点
题型:大连一模
难度:
来源:
已知函数f(x)=
1
2
x
2
-2x+2,g(x)=lo
g
a
1
x
(a>0,且a≠1)
,函数h(x)=f(x)-g(x)在定义域内是增函数,且h′(x)义域内存在零点(h′(x)为h(x)的导函数).
(I)求a的值;
(II)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),(x
1
<x
2
)是函数y=g(x)的图象上两点,g′(x
0
)=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
(g′(x)为g(x)的导函数)
,试比较x
1
与x
0
的大小,并说明理由.
答案
(I)因为h(x)=
1
2
x
2
-2x+log
a
x+2(x>0),
所以h′(x)=x-2+
1
xlna
=
1
x
(
x
2
-2x+
1
lna
)
,
因为h(x)在区间(0,+∞)上是增函数,
所以
1
x
(
x
2
-2x+
1
lna
)
≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即
x
2
-2x+
1
lna
≥0
在区间(0,+∞)上恒成立,
所以△≤0,
又h′(x)存在正零点,故△≥0,
所以△=0,即4-
4
lna
=0,所以lna=1,
所以a=e.
(II)结论x
0
>x
1
,理由如下:
由(I),g′(x
0
)=-
1
x
0
lna
=-
1
x
0
,
由g′(x
0
)=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
得,
x
0
=
x
2
-
x
1
ln
x
2
-ln
x
1
,
x
1
-x
0
=x
1
-
x
2
-
x
1
ln
x
2
-ln
x
1
=
x
1
ln
x
2
-
x
1
ln
x
1
-
x
2
+
x
1
ln
x
2
-ln
x
1
,
∵x
1
<x
2
,∴lnx
2
-lnx
1
>0,
令r(x)=xlnx
2
-xlnx-x
2
+x,
r′(x)=lnx
2
-lnx在(0,x
2
]上,r′(x)>0,
所以r(x)在(0,x
2
]上为增函数,
当x
1
<x
2
时,r(x
1
)<r(x
2
)=0,即x
1
lnx
2
-x
1
lnx
1
-x
2
+x
1
<0,
从而x
0
>x
1
得到证明.
举一反三
已知抛物线x
2
=8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且
AF
=λ
FB
(λ>0)
,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M
(1)证明线段FM被x轴平分;
(2)计算
FM
•
AB
的值;
(3)求证|FM|
2
=|FA|•|FB|.
题型:宁波模拟
难度:
|
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若函数f(x)=x
3
+ax在点O(0,0)处的切线与直线x-2y+3=0平行,则a等于( )
A.-
1
2
B.
1
2
C.-2
D.2
题型:昆明模拟
难度:
|
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曲线f(x)=(2x-3)e
x
在点(1,f(1))处的切线方程为______.
题型:越秀区模拟
难度:
|
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过点A(2,1)作曲线f(x)=
2x-3
的切线l.
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)求切线l,x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S.
题型:不详
难度:
|
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曲线
y=2
x
2
-2,在x=-
1
2
处的切线斜率是( )
A.-4
B.-2
C.
1
2
D.
-
1
2
题型:不详
难度:
|
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