已知抛物线x2=8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF=λFB(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M(1)证明线段FM被x轴平分; 

已知抛物线x2=8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且AF=λFB(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M(1)证明线段FM被x轴平分; 

题型:宁波模拟难度:来源:
已知抛物线x2=8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且


AF


FB
(λ>0)
,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M
(1)证明线段FM被x轴平分;       
(2)计算


FM


AB
的值;
(3)求证|FM|2=|FA|•|FB|.
答案
证明:(1)设A(x1
x21
8
),B(x2
x22
8
)
,由y=
x2
8
y′=
x
4

直线AM的方程为:y-
x21
8
=
x1
4
(x-x1)

直线BM的方程为:y-
x22
8
=
x2
4
(x-x2)

解方程组得x=
x1+x2
2
,y=
x1x2
8
即M(
x1+x2
2
x1x2
8
)(3分) 
由已知


AF


FB
(λ>0)
可得A,A,B,F三点共线,设直线AB的方程为:y=kx+2
与抛物线方程x2=8y联立消y可得:x2-8kx-16=0
∴x1+x2=8k,x1x2=-16(5分)
x1x2
8
=-2
即M点的纵坐标为-2,
∵F(0,2)
所以线段FM中点的纵坐标O
即线段FM被x轴平分.                 (6分)
解(2)∵F(0,2),M(4k,-2),A(x1
x21
8
),B(x2
x22
8
)



FM
=(4k,-4),


AB
=(x2-x1
x22
-
x21
8
)



FM


AB
=4k(x2-x1)-
(x2-x1)(x2+x1)
2

=(x2-x1)(4k-
x1+x2
2
)
=0   (9分)
证明:(3)∵


AM
=(
x2-x1
2
,-2-
x21
8
)  


BM
=(
x1-x2
2
,-2-
x22
8
)



AM


BM
=-
(x1-x2)2
4
+(2+
x21
8
)(2+
x22
8
)
=
x1x2
2
+4+
x21
x22
64
=-8+4+4=0(13分)


AM


BM
,而 MF⊥AB所以在直角△MAB中,
由影射定理即得|FM|2=|FA|•|FB|(15分)
举一反三
若函数f(x)=x3+ax在点O(0,0)处的切线与直线x-2y+3=0平行,则a等于(  )
A.-
1
2
B.
1
2
C.-2D.2
题型:昆明模拟难度:| 查看答案
曲线f(x)=(2x-3)ex在点(1,f(1))处的切线方程为______.
题型:越秀区模拟难度:| 查看答案
过点A(2,1)作曲线f(x)=


2x-3
的切线l.
(Ⅰ)求切线l的方程;
(Ⅱ)求切线l,x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S.
题型:不详难度:| 查看答案
曲线y=2x2-2,在x=-
1
2
处的切线斜率是(  )
A.-4B.-2C.
1
2
D.-
1
2
题型:不详难度:| 查看答案
已知关于x的函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+bc,其导函数为f+(x).令g(x)=|f+(x)|,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x=1处有极值-
4
3
,试确定b、c的值:
(Ⅱ)若|b|>1,证明对任意的c,都有M>2
(Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立,试求k的最大值.
题型:湖北难度:| 查看答案
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